Encontrar Término independiente de X en binomio

Hipérbola

Combinatoria : "Herramienta para la teoría del binomio"

Propiedades de los números de combinatoria:

Para calcular se tiene que hacer:

Recordar que factorial tiene la forma:

Para la teoría del binomio se ocupa:

Valor máximo y mínimo de una función

La derivada y la inversa. [Importante]

Importante, compréndelo así y no se te olvidará

Solo sí g(x) es la inversa de f(x), que es lo mismo que f(x) es la inversa de g(x), tenemos:

Lo que debes saber de Límites

Límite por definición
Límites laterales
Asíntotas
continuidad en un punto
Continuidad en intervalos

Continuidad en intervalos abiertos y cerrados

¿Cómo poder analizar la continuidad en intervalos? osea desde un tramo de puntos definido. Ejemplo f(x) en (-3,3) o [-5,6].

Es muy sencillo, solo es cosa de imaginar la situación. 

1._ 

Considerando f(x) como la raiz de cuatro menos x al cuadrado, sabemos que estamos limitados, ya que, encontramos la solución en los reales solo si el resultado es mayor o igual que cero. 

Entonces tenemos que:

 Entonces tenemos claro que f(x) es continua en el intervalo abierto de (-2,2).

2._ Ahora si queremos analizar está función en el intervalo cerrado [-2,2] debemos considerar lo siguiente:

Es decir, que aparte de tener claro que el intervalo pertenece al dominio de la función, debemos analizar la continuidad de los puntos de cierre, en nuestro caso -2 y 2. 

Entonces podemos decir que f(x) es continua en el intervalo cerrado de [-2,2]. 

También debes tener presente que:

Más ejemplos:

Asíntotas

Resumen:

1._ Para encontrar las Asíntotas verticales solo se debe igualar el denominador a 0, y se ven las posibles soluciones que tiene la ecuación.

Luego se evalúa el limite de la función en aquel punto, tanto por la derecha como la izquierda.

Asíntota vertical x=3



Para definir que tiende a mas infinito o a menos infinito hay que analizar que sucede en ambos lados de la fracción. En el dibujo vemos marcado con rojo, donde en la parte "A" : como sea daría un número positivo, pero en "B" si es número un poco mayor que 3 nos daría negativo, por lo tanto la expresión siempre será negativa. De está misma forma se evalúo la fracción del límite cuando tres tiende por la izquierda.



2._ Para encontrar las Asíntotas horizontales, que es cuando x tiende a infinito, la forma más sencilla es multiplicar ambas partes de la fracción por 1 dividido de "x" y este "x" elevado al mayor coeficiente. Mejor explicado con el dibujo:

Asíntota Horizontal y=3



¿Porque? Recordar que...

3._  Las Asíntotas Oblicuas son de la forma:

"y=mx+n"   y corresponden cuando:

Para definir una Asíntota oblicua debes encontrar los coeficientes "m"y "n" y esto lo puedes hacer:

Definición del limite ¿Qué significa esto?

La continuidad de una función en un punto

¿Qué es la continuidad en un punto? Es muy sencillo, en un gráfico lo explicamos como una linea que no tenga agujeros, ni saltos. Un ejemplo de continuidad

Un ejemplo de NO continuo. 

Pero matemáticamente necesitamos explicarlo o demostrarlo con tres cosas que se deben cumplir , si falta alguna de ellas ya no es continuo. 

Estas serían:

¿Qué significa cada una de ellas? Es más simple de lo que parece

Explicaremos lo siguiendo imaginando que el punto (a) es el que estamos evaluando su continuidad. 

1._ La primera nos dice que "(a)" osea el punto que estamos evaluando, debe pertenecer al dominio de la función que estamos analizando. ¿Porqué? 

Por ejemplo, si (a) = 0, y estamos analizando la funcion: f(x)= 1/x, sabemos que 0 no pertenece a la función, es decir en el dibujo no podrá pasar la linea por ahí.

Pero si tenemos la función f(x)=1+x, no hay restricción para a=0 

2._El  Límite cuando x tiende a (a) debe existir. Esto es muy fácil de entender con un dibujo: 

Ya sabemos que para saber si un límite existe, debemos analizar sus limites laterales, es decir, en donde está la linea, antes de llegar al punto: 

En este caso la linea roja que sería nuestra función, parte en 5, luego da un salto en el punto (a) en 3, para luego volver a saltar a 1. ¡Esto no es continuo! Matemáticamente expresamos esto con los límites laterales
donde uno por la izquierda nos daría 5 y el por la derecha nos daría 1, por lo tanto el límites no existe.

Si no sabes de límites laterales ven aquí para entender esto.

Es por eso que es importante saber si el limite existe, ya que nos dice que ocurre en los extremos del punto.


3._  El valor del límite tiene que ser igual que la función evaluada en el punto (a). Esto nos ayuda a verificar si el punto está en el lugar que necesitemos que esté para que sea continua. Que el limite exista no quiere decir que el punto esté después de ellos. El dibujo dejará todo más claro:

Claramente no es una función continua, existe el punto, existen los límites, ¡Pero! El limite tiende a 5 (es decir donde está el orificio amarillo) y (a) está en 7. Para que f(x) sea continua el punto a debería estar en 5, como en el siguiente dibujo:

Y estos son los tres puntos infaltables que debes demostrar matemáticamente para saber si la continuidad en un punto existen o no.



Teorema que pueda servir.

Ejercicio



El siguiente vídeo es muy bueno (recomendado)

Identidades trigonométricas

Personalmente no me gusta aprendérmelas de memoria, pero hay algunas que son importantes tenerlas
presente.

¿Cómo calcular las derivadas de funciones trigonométricas inversas?

A todos se nos pueden olvidar, pero es sencillo calcularlas tú mismo. Si no sabes mucho de
funciones inversas te recomiendo ver este vídeo antes.

Derivadas que hay que saberse

Límites laterales

Recuerden que los límites laterales nos ayudan para descubrir si una limite existe o no.