La continuidad de una función en un punto

¿Qué es la continuidad en un punto? Es muy sencillo, en un gráfico lo explicamos como una linea que no tenga agujeros, ni saltos. Un ejemplo de continuidad

Un ejemplo de NO continuo. 

Pero matemáticamente necesitamos explicarlo o demostrarlo con tres cosas que se deben cumplir , si falta alguna de ellas ya no es continuo. 

Estas serían:

¿Qué significa cada una de ellas? Es más simple de lo que parece

Explicaremos lo siguiendo imaginando que el punto (a) es el que estamos evaluando su continuidad. 

1._ La primera nos dice que "(a)" osea el punto que estamos evaluando, debe pertenecer al dominio de la función que estamos analizando. ¿Porqué? 

Por ejemplo, si (a) = 0, y estamos analizando la funcion: f(x)= 1/x, sabemos que 0 no pertenece a la función, es decir en el dibujo no podrá pasar la linea por ahí.

Pero si tenemos la función f(x)=1+x, no hay restricción para a=0 

2._El  Límite cuando x tiende a (a) debe existir. Esto es muy fácil de entender con un dibujo: 

Ya sabemos que para saber si un límite existe, debemos analizar sus limites laterales, es decir, en donde está la linea, antes de llegar al punto: 

En este caso la linea roja que sería nuestra función, parte en 5, luego da un salto en el punto (a) en 3, para luego volver a saltar a 1. ¡Esto no es continuo! Matemáticamente expresamos esto con los límites laterales
donde uno por la izquierda nos daría 5 y el por la derecha nos daría 1, por lo tanto el límites no existe.

Si no sabes de límites laterales ven aquí para entender esto.

Es por eso que es importante saber si el limite existe, ya que nos dice que ocurre en los extremos del punto.


3._  El valor del límite tiene que ser igual que la función evaluada en el punto (a). Esto nos ayuda a verificar si el punto está en el lugar que necesitemos que esté para que sea continua. Que el limite exista no quiere decir que el punto esté después de ellos. El dibujo dejará todo más claro:

Claramente no es una función continua, existe el punto, existen los límites, ¡Pero! El limite tiende a 5 (es decir donde está el orificio amarillo) y (a) está en 7. Para que f(x) sea continua el punto a debería estar en 5, como en el siguiente dibujo:

Y estos son los tres puntos infaltables que debes demostrar matemáticamente para saber si la continuidad en un punto existen o no.



Teorema que pueda servir.

Ejercicio



El siguiente vídeo es muy bueno (recomendado)